Sistema duplo acoplado por mola elástica

Sistema de massas acoplado por mola elástica

Nesse post vamos discutir a idealização de um choque elástico, representado pelas duas massas m, conectadas por uma mola de constante elástica k (ver figura abaixo). A bola de massa M, se move com velocidade V_0 em uma superfície sem atrito. Consideraremos a colisão entre M e m como sendo central, elástica e instantânea.

O papel da massa M é simplesmente fornecer um impulso inicial ao sistema acoplado, ela poderia ter sido substituída no problema, já considerando o sistema em movimento. Em relação às duas massas, movimentos harmônicos são sempre bons exemplos de mecanismos para representar interações entre partículas. Poderíamos imaginar que ao invés de duas bolas, poderiam ser duas moléculas interagindo com algum tipo de ligação química.

Pela conservação de energia e momento (choque elástico), temos as seguintes equações:

    \[MV_0 = MV_1 + mV_2\]

    \[\frac{1}{2}MV_0^2=\frac{1}{2}MV_1^2+\frac{1}{2}mV_2^2\]

Onde V_1 e V_2 são as velocidades de M e m, respectivamente após o choque elástico. Dessas duas equações, encontramos as seguintes relações para as velocidades:

    \[V_1 = \frac{1-\beta}{1+\beta}V_0 \ \ ,\ \  V_1 = \frac{2}{1+\beta}V_0 \ \ , \ \ \beta = \frac{m}{M}\]

Analisando os valores de \beta, ou seja a relação entre as massas m e M, temos que para \beta = 1, a massa M transfere todo seu momento para o sistema acoplado e fica parada. Para \beta > 1 a massa M colide e inverte de sentido em seu movimento para a esquerda, e para o caso de \beta < 1, a massa M continua seu movimento no mesmo sentido para a direita com velocidade V_1.

A energia total do sistema acoplado é E_0 = \frac{1}{2}mV_2^2, e parte dessa energia é cinética do movimento das duas massas m, e do centro de massa do sistema, e outra parte é energia interna do sistema (energia elástica da mola). Para encontrar o modo de vibração desse sistema precisamos resolver o sistema acoplado de equações diferenciais:

    \[m\ddot{x}_1 = -k(\ell - x_1 + x_2)\]

    \[m\ddot{x}_2 = -k(x2 - x1 - \ell)\]

Onde \ell é o comprimento da mola não alongada. Subtraindo as duas equações, e fazendo a troca de variáveis u(t) = x_1(t) - x_2(t), e usando as condições iniciais do sistema u(t) = 0, e \dot{u}(t) = V_2, chegamos na solução:

    \[u(t) = \frac{V_2}{\omega}\sin(\omega t) \ \ , \ \ \omega = \sqrt{\frac{2k}{m}}\]

O Centro de massa do sistema se move com velocidade \frac{V_2}{2}, e temos que \dot{x_2} = - \dot{x_3} de forma que a posição das duas massas, no referencial do laboratório, são dadas pelas relações:

    \[x_1(t) = \frac{V_2}{2}t + \frac{V_2}{2\omega}\sin(\omega t)  \ \ , \ \ x_2(t) = \frac{V_2}{2}t - \frac{V_2}{2\omega}\sin(\omega t) \]

A energia cinética (K) e a potencial (U) do sistema são dadas pelas seguintes relações (em função da energia total E_0 do sistema):

    \[K(t) = \frac{1}{2}E_0 (1 + \cos^2(\omega t)) \ \ , \ \ U(t) =  \frac{1}{2}E_0 \sin^2(\omega t)\]

A elongação/compressão máxima A = \frac{V_2}{\omega} da mola ocorre quando a energia cinética do sistema é mínima K_{min} = \frac{1}{2}E_0, e a potencial é máxima U_{max} = \frac{1}{2}E_0. Notando que a energia total do sistema é igual à E_0 = \frac{1}{2}(2k)A^2, um sistema com constante de mola equivalente a duas vezes a original.

É possível também encontrar uma solução para esse sistema, no qual ocorre uma segunda colisão entre a massa M e a massa m da esquerda, bastando igualar a posição M x_M(t) = V_1 t da massa M com a função posição da massa m, e chegamos à seguinte equação:

    \[\frac{\sin(\omega t)}{\omega t} = -\beta\]

O valor máximo de M para que o segundo choque aconteça é M = \frac{3\pi m}{2}, e o tempo para que isso ocorra é t^* = \frac{3\pi}{2}\sqrt{\frac{m}{2k}}.

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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