Integrais divertidas (001)

Fazendo a substituição x = 2 \cos y , e a relação trigonométrica:

    \[\sqrt{2 + 2 \cos y} = \sqrt{4 \cos^2(y/2)} = 2\cos2(y/2)\]

Repetindo esse processo para as n raízes, encontra-se que:

    \[\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+x}}} = 2 \cos\left(\frac{y}{2^n}\right)\]

Substituindo a relação acima, e o fato que dx = - 2\sin(y) dy, tem-se que:

    \[I = - 2\int \cos\left(\frac{y}{2^n}\right) \sin(y) dy\]

Utilizando o resultado trigonométrico:

    \[\sin a \cos b = \sin(a+b) - \sin(a-b)\]

Encontra-se que:

    \[I = - 2\int \cos\left(\frac{y}{2^n}\right) \sin(y) dy = -2 \int \left(\sin\left(\frac{2^n+1}{2^n}y\right) - \sin\left(\frac{2^n-1}{2^n}y\right) \right)dy\]

Resolvendo a integral, lembrando que d(\cos x) = - \sin x, encontra-se o resultado da integral:

    \[I = \frac{2^n}{2^n+1}\cos\left(\frac{2^n+1}{2^n}\arccos\left(\frac{x}{2}\right) \right) - \frac{2^n}{2^n-1}\cos\left(\frac{2^n-1}{2^n}\arccos\left(\frac{x}{2}\right) \right) + C\]

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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