Integrais Divertidas (003)

No post de hoje vamos resolver a seguinte integral:

    \[\boxed{I = \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx} \]

Fazendo algumas manipulações algébricas:

    \[ \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} = \left(\frac{m}{2a}\right)\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c} + \left(n-\frac{mb}{2a}\right)\frac{1}{ax^2+bx+c}\]

Integrando:

    \[ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \left(\frac{m}{2a}\right)\ell n|ax^2+bx+c| + \left(n-\frac{mb}{2a}\right)\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}\]

Completando o quadrado:

    \[ax^2 + bx+ c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + a\xi^2  \ \ \ \ , \ \ \ \ \xi^2 = \frac{4ac-b^2}{4a^2} \]

Fazendo a troca de variável \xi u = \left(x + \frac{b}{2a}\right), encontramos a segunda integral do lado direito:

    \[\int \frac{dx}{ax^2+bx+c} = \frac{1}{a\xi}\int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{a\xi}\arctan\left(\frac{2ax+b}{2a\xi}\right)\]

Finalmente:

    \[\boxed{ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx = \left(\frac{m}{2a}\right)\ell n|ax^2+bx+c| + \left(\frac{2an-mb}{2a^2\xi}\right)\arctan\left(\frac{2ax+b}{2a\xi}\right)}\]

É interessante observar que o binômio (ax^2+bx+c) não pode possuir raízes reais (como podemos ver pela relação \xi), pois se encontra no denominador do integrando. As raízes seriam pólos, e a integral deveria ser calculada usando métodos de análise complexa.

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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