Crônica: Matemática Moderna para Física Teórica (String Theory)

Autor: José Antonio Silva Neto

A Teoria das Supercordas é sem sombra de dúvida um avanço intelectual muito grande em se tratando de teorias físicas. O “problema” com essa teoria, é que o salto no nível de energia dos processos, é gigantesco, muito além da tecnologia atual, e por isso, vem sendo (infelizmente) atacada. Um paper recente do Polchinski retrata bem esse contexto, e deveria ser lido com cuidado. A Teoria das Supercordas impressiona, porque mostra uma unificação profunda de ideias Físicas e Matemáticas. E como diz o PolchinskiA teoria precisa ser terminada, como o Einstein terminou a Relatividade Geral“. Bom, mas o que é básico, em termos modernos, para entrar nesse assunto?

1) Variedades Diferenciáveis (VD) no caso real: variedades diferenciáveis, aparecem como modelos geométricos da Física, em abundância. Me arrisco a dizer, que VD é “álgebra linear local”, no sentido que fixado um ponto da variedade, linearizamos a mesma sobre esse ponto, e consideramos todo tipo de espaço linear: vetorial, tensorial, espinorial, densidades, etc. E quando variamos o ponto, passamos a considerar campos desses objetos geométricos. E sempre vou repetir: os exemplos constituem o laboratório da Matemática, sem exemplos fica difícil construir um conhecimento sólido dos conceitos. Até um certo tempo atrás, não existiam livros didáticos sobre este assunto. É preciso deixar claro: VD é um assunto sofisticado, demora sim para entender e dominar o elementar, então, ninguém deve se assustar por demorar para entender. Um livro com boa didática é John Lee, Introduction to Smooth Manifolds.

2) Variedades Diferenciáveis (VD) complexas: Esse assunto emerge de um modo natural na teoria das supercordas. Existem diferenças sutis entre os casos real e complexo. Como por exemplo, não se poder mergulhar uma variedade complexa arbitrária num \mathbb{C}^{n} (o que ocorre no caso real, o famoso teorema de mergulho de Whitney). Mas muitas variedades complexas são realizadas concretamente como zeros de polinômios.
Vivemos uma nova era, onde pesquisadores também gastam seu tempo (e muito) escrevendo livros mais acessíveis, ver por exemplo Daniel Huybrechts, Complex Geometry: An Introduction.

3) Grupos de Lie: Este assunto é abundante e onipresente em se tratando de Física Teórica. São as simetrias dos sistemas físicos. Existem muitos livros sobre o assunto, em ordem de complexidade crescente:

4) Geometria (semi-)Riemanniana: A geometria riemanniana é um jeito sofisticado de escrever o teorema de Pitágoras em espaços bem gerais. O grande diferencial, é a tremenda abstração que Riemann e Gauss criaram, e hoje, 2016, é imperativo entender o assunto de uma maneira livre de coordenadas. Por exemplo, g_{\mu\nu} são as (funções) coordenadas do tensor métrico num sistema de coordenadas local. E o que é um tensor? O Whitney (o mesmo do famoso teorema de mergulho de variedades, aqui o paper histórico) no começo do século XX, conseguiu formalizar o conceito de produto tensorial para grupos abelianos (ou seja, para \mathbb{Z}-módulos), depois o grupo Bourbaki, criou a definição final). Partindo dessa definição muito geral, mostramos que para o caso de espaços vetoriais, podemos identificar tensores com funções multilineares, porém, tudo isso é algébrico, e para a geometria, precisamos da noção de campo tensorial, que veio da Física: a cada ponto da variedade, associamos um tensor, e essa associação é suave (infinitamente diferenciável), ver por exemplo a referência, páginas 17-37, (Campos de) Tensores são funções multilineares. O objeto central na geometria (semi)-riemanniana é o tensor métrico. No caso Riemanniano (positivo) temos que sempre existe um tensor métrico numa variedade M (segue do conceito de partição da unidade), mas isso é apenas para garantir que não estamos falando em cima do nada quando dizemos “seja (M,g) uma variedade riemanniana”). E o resultado básico da Geometria SR, é o teorema que afirma existir uma única conexão compatível com o tensor métrico e sem torção (a de Levi-Civita). Com o tensor métrico (e conexão associada), podemos calcular comprimentos de curvas, definir medidas naturais, falar de geodésicas, investigar variedades de curvatura escalar constante, etc. E na física, esse tipo de geometria surge aos montes, e a primeira aparição foi na teoria da gravitação do Einstein, a equação de campo é tensorial, por exemplo no caso sem fontes:

    \[Ric(X,Y) -\frac{1}{2}g(X,Y)R = 0\]

Essa é a forma livre de coordenadas, e tomando coordenadas locais, temos:

    \[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 0\]

Onde:

    \[R_{\mu\nu} = Ric(\partial_{\mu},\partial_{\nu}) e g_{\mu\nu} = g(\partial_{\mu},\partial_{\nu})\]

No que a formulação livre de coordenadas é importante? Para trabalhar conceitualmente a teoria, para provar resultados independendo de modelos específicos (algo complicado usando coordenadas). E a formulação usando coordenadas ? (Em parte) para fazer cálculos, mas hoje em dia, em termos de pesquisa, pode ser muito mais interessante usar um CAS (Computer Algebra System – Sistema de Computação Algébrica) para fazer os cálculos. O “Em parte” da frase anterior, é porque existem técnicas locais mais poderosas: o método do referencial móvel de Elie Cartan. Algumas referências abaixo:

Obs. 1: O Petersen discute muitos exemplos antes de embarcar na psicodelia.

Obs. 2: Para conseguir ler estas referências é necessário adquirir conhecimento elementar em matemática (Ver neste tópico), sem essa base todo o conteúdo listado acima se torna hermético. E quando falo saber bem, é saber o fundamental, de forma alguma ter um conhecimento enciclopédico, e mais importante ainda, é saber pensar matematicamente, ser curioso, navegar nas ideias de forma recorrente, criar exemplos (fundamental!), etc. Com esse comportamento, as ideias originais surgem naturalmente, gerando papers interessantes.

It's only fair to share...Share on FacebookShare on Google+Tweet about this on TwitterShare on LinkedIn
About Osvaldo 51 Articles

Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo).

Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

Be the first to comment

Leave a Reply