Integrais Divertidas (005)

No episódio anterior (004) de “Integrais Divertidas”, vimos uma integral um tanto quanto controversa, no episódio de hoje vamos formalizar alguns conceitos para justificar os resultados obtidos. Vamos mostrar que:

  1. Definir a integral do episódio (004) formalmente
  2. É possível tratar a integral como função de parâmetros
  3. É possível aplicar a Regra de Leibniz (da diferenciação no sinal da integral)
  4. Que o integrando converge uniformemente

Primeiramente definindo a integral do capítulo (004), de uma maneira nova:

    \[\boxed{\psi(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}(e^{-ax^2}-e^{-bx^2})dx} \]

Vamos introduzir agora as Integrais de Frullani, são integrais do tipo:

    \[\boxed{\psi(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}(f(a x) - f(bx))dx = (f_0 - f_\infty)\ell n\left(\frac{b}{a}\right)}\]

Onde f:[0,\infty)\to \mathbb{R}, função contínua e limitada  f(x) < f_\infty, ou seja:

    \[f_\infty = \lim_{x\to \infty}f(x)\]

e seja o valor da função tomado em x=0, f_0 = f(0), é garantido o resultado da Integral de Frullani (que apresentaremos aqui sem demonstração). Segundo Teste M de Weirstrass podemos garantir que \psi(a,b) seja uma função dos parâmetro a,b. De fato para o exemplo f(ax) = \exp(-ax^2)f(bx) = \exp(-bx^2), para a,b > 0, tem-se que:

    \[\lim_{x\to 0} \frac{\exp(-ax^2) - \exp(-bx^2)}{x} = \frac{0}{0}\]

Para esse tipo de indeterminação é possível aplicar a Regra de L’Hopital:

    \[\lim_{x\to 0} (-ax\exp(-ax^2) + bx\exp(-bx^2)) = 0\]

Ou seja, a integral \psi(a,b) pode ser considerada como uma função dos parâmetros a,b, e o integrando possui singularidade apenas para x\to\infty, com isso é possível aplicar a Regra de Leibniz (da diferenciação no sinal da integral) individualmente para ambos os parâmetros. Finalmente é preciso demonstrar agora a convergência uniforme das integrais \frac{\partial\psi}{\partial a}\frac{\partial\psi}{\partial b}, de fato aplicando o teste-p de convergência para integrais impróprias (ver Apostol, Calculus, Volume 1, pág. 417), tem-se que para a,b > 0:

    \[\lim_{x\to \infty} x^2\frac{\exp(-ax^2)}{x} = 0 \ \ , \ \ \lim_{x\to \infty} x^2\frac{\exp(-bx^2)}{x} = 0\]

O teste aplicado acima garante a convergência simples da integral \psi(a,b), e aplicando o Teste M de Weirstrass para as integrais \frac{\partial\psi}{\partial a}\frac{\partial\psi}{\partial b} garante a convergência uniforme dessas integrais. E a integral de Frullani para este caso específico tem o seguinte resultado:

    \[\boxed{\psi(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}(e^{-ax^2}-e^{-bx^2})dx = \frac{1}{2}\ell n\left(\frac{b}{a} \right)} \]

Observando que a constante \frac{1}{2} vem do fato que f(x) = \exp(-x^2), e que \exp(-ax^2) = f(\sqrt{a}x), e da regra de logaritmos \ell n (\sqrt{a}) = \frac{1}{2}\ell n (a).

Obs.: No livro do Apostol (de análise real, pág. 301) ele propõe a prova desse teorema como exercício.

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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