Integrais Divertidas (006)

No episódio 005, vimos um teorema sobre Integrais Impróprias ( Integrais de Frullani), são integrais do tipo:

    \[\boxed{\psi(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}(f(a x) - f(bx))dx = (f_0 - f_\infty)\ell n\left(\frac{b}{a}\right)}\]

Onde f:[0,\infty)\to \mathbb{R}, função contínua e limitada  f(x) < f_\infty, ou seja:

    \[f_\infty = \lim_{x\to \infty}f(x)\]

e seja o valor da função tomado em x=0, f_0 = f(0), é garantido o resultado da Integral de Frullani (que apresentaremos aqui sem demonstração). No post de hoje vamos aplicar esse teorema a seguinte função:

    \[f(x) = \ell n(p + qe^{-x})\]

Aplicando o teorema, fazendo a substituição x\to ax, iremos resolver a seguinte integral:

    \[\psi(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}(\ell n(p + qe^{-ax}) - \ell n(p + qe^{-bx}) ) dx \]

Aplicando o teorema, temos o seguinte resultado:

    \[\psi(a,b) = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{x}(\ell n(p + qe^{-ax}) - \ell n(p + qe^{-bx}) ) dx = \ell n \left( \frac{p}{p+q}\right) \ell n \left(\frac{b}{a} \right)\]

 

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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