Conservação de Energia e Diferenciabilidade

Neste post vamos demonstrar uma aplicação de diferenciabilidade, neste caso particular da regra da cadeia, em física. Vamos nos motivar com um dos princípios físicos mais importantes em todas as teorias existentes, a conservação da energia. Seja U \subset \mathbb{R}^n um aberto, de forma que possamos definir um espaço vetorial nesse conjunto. Como estamos trabalhando em um conjunto de uma variedade suave, o Espaço Euclidiano é trivial associarmos os cálculos que já conhecemos, como normas e métricas euclidianas, diferenciabilidade, etc. Seja f uma função diferenciável, podemos associar a cada ponto de U, o vetor \nabla f (p), onde p\in U. Fisicamente, vetores são interpretados como campos de força, por exemplo o Campo Elétrico, ou ainda o Campo Magnético. Se F for um campo de forças em U, para cada ponto x \in U, podemos determinar os valores desse campo F(x). Esse campo é dito conservativo, se existir uma função \Phi:U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} diferenciável tal que:

    \[F(x) = - \nabla \Phi\]

A função \Phi é a chamada função potencial, um exemplo é o potencial elétrico. Supondo uma massa m se movendo nesse campo vetorial através de uma curva parametrizada x(t): I \to \mathbb{R}^n, onde I \subset \mathbb{R}, a derivada dessa função é a velocidade da partícula (determinada num ponto t_0 \in I):

    \[\dot{x}(t_0) = \frac{dx}{dt}(t_0) = \lim_{v \to 0}\frac{x(t_0 + v) - x(t_0)}{v}\]

A segunda derivada dessa curva é a aceleração da partícula:

    \[\ddot{x}(t_0) = \frac{d^2x}{dt^2}(t_0)\]

Essa partícula está sujeita a Lei de Newton F(x) = (F\circ x)(t) = m\ddot{x}, e levando em conta o fato da partícula se movimentar em um campo conservativo (\Phi):

    \[m \ddot{x} = - \nabla \Phi(x)\]

Aplicando o produto interno na equação acima:

    \[m \langle\ddot{x},\dot{x}\rangle = - \langle \nabla \Phi(x),\dot{x}\rangle \]

Mas o termo do lado esquerdo \langle\ddot{x},\dot{x}\rangle = \langle\dot{x},\ddot{x}\rangle nada mais é do que a diferencial da função \frac{1}{2}\dot{x}^2, e o termo do lado direito \langle \nabla \Phi(x),\dot{x}\rangle nada mais é do que a diferencial (regra da cadeia) da função \Phi(x(t)). Organizando os termos do lado esquerdo e utilizando o fato de que a diferencial é um operador linear, ou seja d(f + g) = df + dg para funções f,g diferenciáveis, temos que:

    \[d\left(\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \Phi(x) \right) = 0\]

Como a derivada da função dentro dos parênteses é zero, isso significa que é uma função constante:

    \[\frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \Phi(x) = \text{constante} \]

Vamos interpretar esse resultado fisicamente. O termo \frac{1}{2}m\dot{x}^2 é a energia cinética da partícula, enquanto que \Phi(x) é a energia potencial da partícula devido ao campo em que ela se encontra. Esse resultado demonstra que a energia total é a soma da sua energia cinética e potencial, e se trata de uma grandeza conservada. É importante ressaltar que esse resultado só é válido quando podemos determinar F = - \nabla\Phi, ou seja quando o campo vetorial for conservativo. Um exemplo de campo conservativo é uma função inverso do quadrado:

    \[\Phi(x) = \frac{C}{r} \to F(x) = - \nabla\Phi = \frac{C}{r^3}x\]

Onde r = ||x|| é a norma do vetor x, e C\in\mathbb{R} é uma constante. Observando também que x/r é um vetor unitário, pois ||x/r|| = 1.
De uma forma mais rigorosa, a função \Phi é uma 0-forma e F = d\Phi é uma 1-forma exata, que resulta da aplicação da diferencial em \Phi. O que acontece é que há uma correspondência entre as bases (dx_i)_{i=1}^{n} do espaço dual (\mathbb{R}^n)* do Espaço Euclidiano, cuja base é (e_i)_{i=1}^{n}. E o produto interno natural induz um isomorfismo entre esses espaços duais, de forma que para v*\in (\mathbb{R}^n)* e x\in\mathbb{R}^n temos que v*(x) = \langle v,x\rangle. Os físicos utilizam muito essa correspondência, pois preferem calcular produtos internos (naturais a seus espaços) do que utilizar funcionais lineares, \varphi(v,x) = a_1x_1 + \ldots + a_nx_n, onde v = (a_1,\ldots,a_n). O gradiente de uma função corresponde a diferencial de uma 0-forma.

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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