Formas Diferenciais (01)

Decidi criar uma série de posts apresentando formas diferenciais, com o objetivo de motivar o leitor, e apresentar as virtudes de aprender álgebra exterior, multilinear e ter um conceito bem solidificado sobre formas diferenciais e suas aplicações. Antes de começarmos, vou deixar uma lista de livros sobre o assunto. Obs.: Essa lista é pessoal, dos livros que gosto de utilizar. Ela não é exaustiva, e os critérios os quais me baseei para sugerir são subjetivos. Sugiro explorar os livros e notas de aula disponíveis na rede e escolher o mais apropriado ao seu estilo, caso estes não lhe agrade. Devo apenas deixar a recomendação de que Henri Cartan foi o matemático que marcou na história o uso das formas diferenciais em geometria. O seu livro Differential Forms é no mínimo um livro histórico.

Bibliografia

Neste post utilizaremos o \mathbb{R}^3 como palco para desenvolver intuições geométricas e algébricas.

Definição (0-forma básica)
Uma 0-forma básica é uma função a valores reais, que pertence ao espaço vetorial das funções k-vezes diferenciáveis C^{k}(\mathbb{R}), definimos de forma usual a soma de dois vetores pertencentes a este espaço, e o produto de um escalar, pertencente aos reais, por um vetor desse espaço.

  • Para f,g\in C^{k}(\mathbb{R}) e a,b \in \mathbb{R} então (af + bg)\in C^{k}(\mathbb{R}).
  • É definido o produto de duas funções f,g \in C^{k}(\mathbb{R}) temos que (fg)\in C^{k}(\mathbb{R})

Definição (1-forma básica)
Uma 1-forma básica é uma combinação linear de funções a_i:X\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}, onde X é um aberto em \mathbb{R}^3 e os objetos matemáticos (que serão melhor definidos mais a frente), dx_1,dx_2,dx_3, ou para o aluno que já estudou cálculo diferencial, dada uma função diferenciável, a 1-forma é meramente a derivada total dessa função (ou como aprenderemos mais a frente, é a derivada exterior). Vale observar que as funções são diferenciáveis, ou seja, a_i = a_i(x_1,x_2,x_3) \in C^{k}(\mathbb{R}), e como estamos no palco do \mathbb{R}^3, é necessário e suficiente que a_i \in C^{1}(\mathbb{R}).

    \[\varphi = \sum_{i = 1}^{3}a_i dx_i = a_1 dx_1 + a_2 dx_2 + a_3 dx_3\]

Corolário:
É imediato o resultado de que dx_1, dx_2, dx_3 também são 1-formas, de fato basta notar que para a_1 = 1, a_2 = 0, a_3 = 0 então \varphi = dx_1, os outros resultados são concluídos de forma análoga.

Definição (2-forma básica)
Uma 2-forma básica é a combinação linear entre funções a_{ij}:X\subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, onde X é um aberto, com os seguintes objetos matemáticos, dx_i \wedge dx_j.

    \[\omega = \sum_{i,j = 1}^{3} a_{ij} \; dx_i \wedge dx_j = a_{23} dx_2 \wedge dx_3 + a_{31} dx_3 \wedge dx_1 + a_{12} dx_1 \wedge dx_2\]

Corolário:
É imediato o resultado de que dx_i \wedge dx_j também são 2-formas, de fato basta tomar por exemplo a_{23} = 1 e as outras funções como sendo nulas e obtemos que \omega = dx_2 \wedge dx_3, e os outros resultados também são concluídos de maneira análoga.

Definição (3-forma básica)
Uma 3-forma básica é tal que a:X\subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, onde X é um aberto, seja uma expressão do tipo:

    \[\psi = a(x_1,x_2,x_3) dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3\]

De agora em diante, vamos nos referir a estes objetos como sendo k-formas, onde k = 0,1,2,3. Abaixo alguns exemplos de formas diferenciais:

Exemplos de formas diferenciais

  • 0-forma: f(x,y,z) = xy + y + z^2
  • 1-forma: \varphi = (x + y^2)dx + \sin(xy^2)dy + e^{xyz}dz
  • 2-forma: \omega = x^2dx dy + xy^3 dy \wedge dz + \sin(yz) dx \wedge dz
  • 3-forma: \psi = z^2e^{x^2+y^2} dx \wedge dy \wedge dz

Da mesma maneira como definimos para as 0-formas, as outras k-formas também pertencem a espaços vetoriais, e por isso respeitam as suas propriedades e operações, de forma que para \eta e \omega duas k-formas (para o mesmo k), e para f, e g duas 0-formas quaisquer, temos que f\eta + g\omega também é uma k-forma. Além disso a soma de k-formas possui as propriedades de comutatividade e associatividade sobre a adição, e a multiplicação é distributiva para funções, ou seja, se comportam como vetores em um espaço vetorial.

    \[f\wedge(\omega + \eta) = e^{x}\wedge ((z dz + dy) + dx) = dx + e^{x} dy + ze^{x} dz\]

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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