Formas Diferenciais (02)

Produto Exterior

Agora que já definimos o que são k-formas, e que são vetores pertencentes a espaços vetoriais, então vamos definir o produto exterior \varphi \wedge \omega, entre formas diferenciais. Seja \varphi uma k-forma, \omega uma r-forma, e \eta uma s-forma, e sendo uma função f, então o produto externo obedece as seguintes propriedades:

Distributividade: (f\omega + \eta)\wedge \varphi = f \omega \wedge \varphi + \eta \wedge \varphi se r = s
Anticomutatividade: \omega \wedge \varphi = (-1)^{k r} \varphi \wedge \omega
Associatividade: \omega \wedge (\varphi \wedge \eta) = (\omega \wedge \varphi) \wedge \eta
dx_i \wedge dx_j = - dx_j \wedge dx_i
dx_i \wedge dx_i = 0

E também temos que para cada k, existe uma k-forma, 0, tal que 0 + \omega = \omega, e 0\wedge\varphi = 0, para todas as p-formas, desde que seja respeitada a relação 0 \leq k + p \leq 3.

Exemplos:

1. Seja \varphi = x dx + y dy e \omega = zy dx + xz dy + xy dz:

    \begin{eqnarray*} \varphi \wedge \omega &=& (x dx + y dy) \wedge (zy dx + xz dy + xy dz) \\ &=& (x dx + y dy) \wedge (zy dx) + (x dx + y dy) \wedge (xz dy) + (x dx + y dy) \wedge (xy dz) \\ &=& zy^2 dy \wedge dx + x^2z dx \wedge dy + x^2y dx \wedge dz + xy^2 dy \wedge dz \\ &=& (x^2z- zy^2) dx \wedge dy + x^2y dx \wedge dz + xy^2 dy \wedge dz \end{eqnarray*}

2. Seja \varphi = xy dx + y dy e \omega = xyz dz \wedge dx:

    \begin{eqnarray*} \varphi \wedge \omega &=& (xy dx + y dy) \wedge (xyz dz \wedge dx) \\ &=& x dx \wedge (xyz dz \wedge dx) + y dy \wedge (xyz dz \wedge dx)\\ &=& - x^2yz dz \wedge dx \wedge dx) + xy^2z dy \wedge dz \wedge dx\\ &=& xy^2z dy \wedge dz \wedge dx \end{eqnarray*}

3. Seja \varphi = x dx - y dy e \omega = x dy \wedge dz + z dx \wedge dy:

    \begin{eqnarray*} \varphi \wedge \omega &=& (x dx - y dy) \wedge (x dy \wedge dz + z dx \wedge dy) \\ &=& x dx \wedge (x dy \wedge dz + z dx \wedge dy) - y dy \wedge (x dy \wedge dz + z dx \wedge dy)\\ &=& x^2 dx \wedge dy \wedge dz \end{eqnarray*}

Produto entre duas 1-Forma
Sejam duas 1-forma definidas em um aberto K, \omega_1 = \sum_{i}a_{i} dx_i, e \omega_1 = \sum_{j}b_{j} dx_j de forma que \omega_i:K\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}, e sejam a_i,b_i:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} funcionais, temos que o produto externo, definido entre estas 1-forma é \omega_1\wedge\omega_2 = \sum_{ij} a_ib_j (dx_i\wedge dx_j), utilizando os axiomas e as propriedades de associatividade e distributividade, levando em consideração que cada a_i dx_i e b_j dx_j também são 1-forma:

    \begin{eqnarray*} \nonumber \omega_1 \wedge \omega_2 &=& (a_1 dx_1 + a_2 dx_2 + a_3 dx_3)\wedge(b_1 dx_1 + b_2 dx_2 + b_3 dx_3)\\ \nonumber &=& a_1 dx_1 \wedge(b_1 dx_1 + b_2 dx_2 + b_3 dx_3) + a_2 dx_2 \wedge(b_1 dx_1 + b_2 dx_2 + b_3 dx_3)\\ \nonumber &+& a_3 dx_3\wedge(b_1 dx_1 + b_2 dx_2 + b_3 dx_3)\\ \nonumber &=& (a_1b_2 - a_2b_1)dx_1dx_2 + (a_2b_3 - a_3b_2)dx_2dx_3 + (a_3b_1 - a_1b_3)dx_3dx_1 \end{eqnarray*}

Utilizando o resultado anterior, para \omega = xdx + ydy e \nu = zy dx + xzdy + xydz, temos que o produto externo entre essas 1-forma, \omega\wedge\nu é dado pela seguinte relação:

    \[\omega\wedge\nu = (x^2z - y^2z)dx \wedge dy + x^2y dx \wedge dz + xy^2 dy \wedge dz\]

Produto exterior entre 1-forma e 2-forma:
Seja a 1-forma, \omega = x dx - y dy, e a 2-forma \varphi = x dy\wedge dz + z dx\wedge dy, então:

    \begin{eqnarray*} \omega \wedge \varphi &=& (x dx - y dy)\wedge(x dy\wedge dz + z dx\wedge dy)\\ &=& x^2 dx\wedge dy\wedge dz + xz dx \wedge dx \wedge dy - yx dy\wedge dy\wedge dz - yz dy \wedge dx\wedge dy \\ &=& x^2 dx\wedge dy\wedge dz \end{eqnarray*}

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About Osvaldo 51 Articles

Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo).

Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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