Formas Diferenciais (03)

Exercícios Propostos

1. Sejam as seguintes 1-forma abaixo, calcule os produtos exteriores entre todas:

    \begin{eqnarray*} \varphi_1 &=& 2x^2dx + (x + y)dy \\ \varphi_2 &=& - xdx + (x - 2y)dy \\ \varphi_3 &=& x^3dx + yzdy - (x^2 + y^2 + z^2)dz \\ \varphi_4 &=& y^2zdx - xzdy + (2x + 1)dz \end{eqnarray*}

2. Sejam dadas as seguintes 1-formas \omega_1 = a_1dx_1 + a_2dx_2 + a_3dx_3 e \omega_1 = b_1dx_1 + b_2dx_2 + b_3dx_3, utilizando a definição de produto externo de formas:

    \[\omega_1\wedge\omega_2 = \sum_{i,j = 1}^{3}a_ib_j(dx_i \wedge dx_j)\]

E utilizando as relações dx_i\wedge dx_j = - dx_j\wedge dx_i para i \neq j e dx_i\wedge dx_i = 0 quando i = j, agrupando os termos (fator comum) mostre que:

    \[\omega_1\wedge\omega_2 = (a_1b_2 - a_2b_1)dx_1dx_2 + (a_2b_3 - a_3b_2)dx_2dx_3 + (a_3b_1 - a_1b_3)dx_3dx_1\]

3. Sejam as formas diferenciais \omega_1 = a_1dx + a_2dy + a_3dz, \omega_2 = b_1dx + b_2dy + b_3dz e \omega_3 = c_1dx + c_2dy + c_3dz. Calcule \varphi_1 = \omega_1\wedge\omega_2 e \varphi_2 = \omega_2\wedge\omega_3, depois calcule \varphi_1\wedge\omega_3 e \omega_1\wedge\varphi_2 e mostre que obtemos o mesmo resultado, com isso monstramos que é satisfeita a propriedade de associatividade de formas:

    \[(\omega_1\wedge\omega_2)\wedge\omega_3 = \omega_1\wedge(\omega_2\wedge\omega_3)\]

4. Sejam \varphi = (x^2 - y^2) dx \wedge dy e \omega = (x - y) dx \wedge dy, encontre as formas \nu = y \varphi + x^2\omega e \psi = - \varphi + (x + y)\omega:

4. Sejam a 1-forma \omega = a_1dx + a_2dy + a_3dz, e a 2-forma \varphi = b_1 dy\wedge dz + b_2 dz \wedge dx + b_3 dx \wedge dy, então demonstre a seguinte relação:

    \[ \omega \wedge \varphi = \left(\sum_{i}a_i b_i\right)dx \wedge dy \wedge dz\]

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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