A métrica da esfera (sistemas localmente inerciais)

Nesse post iremos falar sobre Relatividade Geral, em especial sobre métricas e sistemas de coordenadas. Iremos mostrar que diferentes métricas podem descrever a mesma geometria. Por exemplo a métrica de Minkowski:

    \[ds^2 = -c^2dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2\]

Fazendo a transformação de coordenadas (esféricas):

    \[x = r \sin\theta\cos\varphi \ \ \ \ y = r\sin\theta\sin\varphi \ \ \ \ z = r\cos\theta\]

A métrica do Espaço Plano toma a seguinte forma:

    \[ds^2 = -c^2dt^2 + dr^2 + r^2d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta d\varphi^2\]

Vamos mostrar um exemplo de geometria com simetria rotacional, tomando a métrica Euclidiana:

    \[ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2\]

Uma superfície de rotação em torno do eixo z pode ser representada pelo sistema de coordenadas:

    \[f(t,\theta) = (r(t) \cos\theta, r(t) \sin\theta, z(t)\]

Calculando as diferenciais em função desse sistema de coordenada e inserindo na métrica Euclidiana, temos:

    \[ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = (\dot{r}^2 + \dot{z}^2)dt^2 + r^2d\theta^2\]

A superfície pode ser parametrizada pelo comprimento de arco, de forma que \dot{r}^2 + \dot{z}^2 = 1, de forma que |\dot{r}| \leq 1. Como r é uma função de t, toda métrica do tipo:

    \[ds^2 = dt^2 + f^2(t)d\theta^2\]

Possui simetria rotacional, pois f(t) não depende  de \theta. A esfera S^2(R) \subset \mathbb{R}^3 é uma superfície de rotação, utilizando o sistema de coordenadas x = R\sin\left(\frac{t}{R}\right) e y = R\cos\left(\frac{t}{R}\right), a métrica toma a seguinte forma:

    \[ds^2 = dt^2 + R^2\sin^2\left(\frac{t}{R}\right)d\theta^2\]

Quando \frac{t}{R} << 1 então R^2\sin^2\left(\frac{t}{R}\right) \to t^2 e recobramos a métrica Euclidiana ds^2 = dt^2 + t^2d\theta^2, ou seja esferas com raios suficientemente grandes são aproximadamente espaços Euclidianos. Utilizando o sistema de coordenadas:

    \[x = t\cos\theta \ \ \ \ y = t\sin\theta \ \ \  \to \ \ \ t^2 = x^2 + y^2 \ \ \ \ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\]

Tomando as diferenciais, temos que:

    \[dt = \frac{x}{t}dx + \frac{y}{t}dy \ \ \ \ d\theta = -\frac{y}{t^2}dx + \frac{x}{t^2}dy \]

Inserindo na métrica ds^2 = dt^2 + \sin^2(t)d\theta^2, encontramos:

    \[ds^2 = \frac{1}{t^2}\left(x^2 + \frac{\sin^2t}{t^2}y^2\right)dx^2 + \frac{1}{t^2}\left(y^2 + \frac{\sin^2t}{t^2}x^2\right)dy^2 - 2\frac{xy}{t^2}\frac{\sin^2t}{t^2}dxdy\]

No limite em que t \to 0, podemos expandir \frac{\sin^2t}{t^2} em série de Taylor:

    \[\frac{\sin^2t}{t^2} = 1 - \frac{t^2}{3} + \ldots \]

Inserindo esse resultado na métrica, encontramos:

    \[ds^2 = \left(1 - \frac{y^2}{3} + \ldots\right)dx^2 + \left(1 - \frac{x^2}{3}+\ldots\right)dy^2 + \frac{2}{3} xy dxdy + \ldots\]

Os termos da métrica g são:

    \begin{align*} g_{xx} &= 1 - \frac{y^2}{3} + \ldots \\ g_{yy} &= 1 - \frac{x^2}{3} + \ldots \\ g_{xy} &= \frac{2}{3} xy + \ldots \end{align*}

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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