Formas Diferenciais (04)

Neste post vamos introduzir a definição de derivada exterior de uma forma diferencial. Mais a frente aprenderemos que se trata de uma função multilinear, mas por enquanto usaremos novamente o \mathbb{R}^3 como motivador.

Derivada Exterior

Seja \omega uma k-forma, definida em X \subset \mathbb{R}^3, onde X é um aberto qualquer, definimos a derivada exterior (d) como o operador linear:

    \[d:T^{p}(X) \to T^{p+1}(X)\]

Onde T^{p}(X) é o conjunto de todas as k-formas definidas em X, da definição percebemos que ao aplicar o operador em uma k-forma, obtemos uma (k+1)-forma.Para uma 0-forma f sua derivada df é 1-forma:

    \[df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz\]

Para a 1-forma \varphi = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz, sua derivada d\varphi é 2-forma:

    \[ d\varphi = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right) dy \wedge dz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right) dx \wedge dz + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx \wedge dy \]

Para a 2-forma \omega = A dy \wedge dz + B dz \wedge dx + C dx \wedge dy, sua derivada d\omega é uma 3-forma:

    \[d\omega = \left(\frac{\partial A}{\partial x} + \frac{\partial B}{\partial y} + \frac{\partial C}{\partial z}\right) dx \wedge dy \wedge dz\]

Vamos apresentar, sem demonstração formal no momento, os teoremas que definem o operador derivada exterior.

Teoremas (Derivada Exterior)

  1. d(\omega + \eta) = d\omega + d\eta
  2. d(\omega \wedge \varphi) = d\omega \wedge \varphi + (-1)^{k}\omega \wedge d\varphi, sendo \omega uma k-forma
  3. Para todo \omega temos que d(d\omega) = 0
  4. Para toda função (0-forma) f tem-se que

        \[df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz\]

Vale notar que da propriedade (3) é possível concluir que d(dx) = d(dy) = d(dz) = 0, de fato basta tomar \omega = dx e o resultado é imediato d(d\omega) = d(dx) = 0, as outras relações saem da mesma maneira. Além disso, é também um resultado geral, e como veremos em capítulos posteriores pode ser facilmente demonstrada. Por enquanto mostraremos que esse resultado é válido no \mathbb{R}^3, para isso tomemos a derivada da 1-forma:

    \[d(df) = d\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx\right) + d\left(\frac{\partial f}{\partial y}dy\right) + d\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)dz\]

Calculando para os termos do lado direito, e lembrando que d(dx) = d(dy) = d(dz) = 0:

    \begin{eqnarray*} d\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx\right) &=& \frac{\partial^2f}{\partial y \partial x} dy \wedge dx + \frac{\partial^2f}{\partial z \partial x} dz \wedge dx \\ d\left(\frac{\partial f}{\partial y}dy\right) &=& - \frac{\partial^2f}{\partial x \partial y} dy \wedge dx + \frac{\partial^2f}{\partial z \partial x} dz \wedge dx \\ d\left(\frac{\partial f}{\partial z}dz\right) &=& \frac{\partial^2f}{\partial x \partial z} dz \wedge dx + \frac{\partial^2f}{\partial y \partial z} dy \wedge dz \end{eqnarray*}

Somando os três termos e lembrando que as derivadas parciais mistas comutam, então d(df) = 0. Segue imediatamente da propriedade (3) e da propriedade (2) o resultado d(dx_i \wedge dx_j) = 0, de fato, dx_i é 1-forma:

    \[d(dx_i \wedge dx_j) = d(dx_i) \wedge dx_j + (-1)dx_i \wedge d(dx_j) = 0 \Leftrightarrow d(dx_i) = 0 \]

A propriedade (1) é óbvia, e a prova disso é imediata, dado que a diferencial (d) é um operador linear. A propriedade (4) é simplesmente a definição de diferencial de uma função (0-forma). A propriedade (2) é conhecida como a regra de Leibniz, e vem do fato de k-formas serem formas multilineares.

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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