Formas Diferenciais (05)

A Regra de Leibniz
Para o caso em que \omega = \sum_{i}a_i dx_i e \varphi = \sum_{j}b_j dx_j são 1-forma, então:

    \begin{eqnarray*} d(\omega \wedge \varphi) &=& d\left(\sum a_{i} b_{j} dx_{i} \wedge dx_{j} \right) = \sum \frac{\partial (a_i b_j)}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j \\ &=& \sum \frac{\partial a_i}{\partial x_k} b_j dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j + \sum \frac{\partial b_j}{\partial x_k} a_i dx_k \wedge dx_i \wedge dx_j \\ &=& \sum \left(\frac{\partial a_i}{\partial x_k} dx_k \wedge dx_i\right) \wedge (b_j dx_j)\\ &+& \sum (-1)(a_i dx_i) \wedge \left(\frac{\partial b_j}{\partial x_k} \wedge dx_k \wedge dx_j\right)\\ &=& d\omega \wedge \varphi - \omega \wedge d\varphi \end{eqnarray*}

O resultado que obtivemos acima pode ser demonstrado para quaiser k-forma, como mostraremos mais a frente ao definir as k-formas em variedades mais gerais, no \mathbb{R}^n por exemplo.

Teorema de Schwarz
Mostramos anteriormente que se existir uma função f tal que \omega = df, onde \omega é 1-forma, então d\omega = d(df) = 0, mas fizemos uma hipótese que não foi justificada, a simetria das derivadas parciais mistas, ou seja:

    \[\frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial f}{\partial x_j \partial x_i}\]

Esse resultado é devido à Hermann Schwarz, a condição para a simetria exige apenas que as segundas derivadas sejam contínuas, ou de uma maneira mais fraca, que sejam diferenciáveis. Uma maneira direta de estabelecer esse resultado é aplicando o Teorema de Green à função f, e essa é na verdade a nossa motivação (escondida até agora no texto), como generalizar os teoremas de integrais, a extensão do Teorema Fundamental do Cálculo.

A derivada de 1-forma é 2-forma
Seja a 1-forma \phi = a_1(x,y,z)dx_1 + a_2(x,y,z)dx_2 + a_3(x,y,z)dx_3, onde a_i:X\subset \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} são funções de classe C^r(\mathbb{R}) onde r \geq 2, calculemos sua derivada exterior.

    \begin{eqnarray*} d\phi &=& d\left(\sum a_i dx_i \right) = \sum \frac{\partial a_i}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_i \\ &=& \sum_{i=j} \frac{\partial a_i}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_i + \sum_{i>j} \frac{\partial a_i}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_i + \sum_{i<j} \frac{\partial a_i}{\partial x_j} dx_j \wedge dx_i \\ &=& \sum_{j>i} \frac{\partial a_j}{\partial x_i} dx_i \wedge dx_j - \sum_{i<j} \frac{\partial a_i}{\partial x_j} dx_i \wedge dx_j \\ &=& \sum_{i<j} \left(\frac{\partial a_j}{\partial x_i} - \frac{\partial a_i}{\partial x_j}\right)dx_i \wedge dx_j \end{eqnarray*}

A quarta igualdade foi construída da seguinte maneira, para os termos em que i=j, é propriedade fundamental do produto exterior que dx_i \wedge dx_i = 0, e na somatória para termos i > j, invertemos os dois índices. Para a somatória onde i < j fizemos a permutação entre as 1-forma dx_i e dx_j e utilizando a propriedade de que \nu \wedge \mu = (-1)^{kr} \mu \wedge \nu.

    \[d\phi = \left(\frac{\partial a_3}{\partial x_2} - \frac{\partial a_2}{\partial x_3}\right) dx_2 \wedge dx_3 + \left(\frac{\partial a_1}{\partial x_3} - \frac{\partial a_3}{\partial x_1}\right) dx_3 \wedge dx_1 + \left(\frac{\partial a_2}{\partial x_1} - \frac{\partial a_1}{\partial x_2}\right) dx_1 \wedge dx_2\]

O resultado acima possui uma interpretação geométrica importante, pois lembra muito o rotacional de um vetor, \nabla \times a. Este resultado será explorado mais a frente.

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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