Resfriamento Magnético

Um gás ideal clássico monoatômico é formado por átomos de massa m, que possuem momento magnético ao longo do eixo z. O sistema contém N partículas, ocupa um volume V, e está sujeito à presença de um campo magnético uniforme, também ao longo do eixo z. O Hamiltoniano desse sistema pode ser escrito da seguinte forma:

    \[ H = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{P_i^2}{2m} - \mu \sigma_i B \right). \]

Onde \sigma = \pm 1, apenas atentando para o fato que o termo \frac{1}{2}2\mu \sigma B = \mu \sigma B, vem do fato das partículas serem férmions de spin 1/2, e com degenerescência igual a 2. Onde \mu é o magneton de Bohr. O valor negativo de \sigma corresponde ao spin -1/2, e \mu antiparalelo ao campo magnético, e o valor positivo corresponde ao spin 1/2, e \mu paralelo à B. As energias acessíveis ao sistema são:

    \[ \varepsilon_+ = - \mu B \ \ \ , \ \ \ \varepsilon_- = \mu B. \]

Como estamos tratando de um gás ideal clássico, podemos utilizar a distribuição de Boltzman:

    \[ n_+ = \frac{N}{Z}\exp(\mu \beta B) \ \ \ , \ \ \ n_- = \frac{N}{Z}\exp(- \mu \beta B). \]

Onde \beta = (k_BT)^{-1},  N = n_+ + n_- é o número total de partículas, e Z é a função partição canônica, dada pela seguinte expressão:

    \[ Z(N,T,V,B) = \exp(\mu \beta B) + \exp(-\mu \beta B) = 2 \cosh(\mu \beta B). \]

A energia total E = \sum_i n_i\varepsilon_i é então dada pela seguinte expressão:

    \[ E = n_+ \varepsilon_+ + n_-\varepsilon_- = N\mu B \tanh(\mu\beta B). \]

A entropia é dada por S = Nk\ell n(Z) + E/T. Na figura abaixo, vemos o gráfico da entropia em função da temperatura. O campo magnético é “desligado” lentamente, e os spins perdem a magnetização de uma forma suave, pois se trata de um exemplo de paramagnetismo. Esse primeiro processo é realizado de forma adiabática, resfriando o sistema.
imagem1

Palavras-chave: efeito magnetocalórico, paramagnetismo de Pauli, degenerescência.

 

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About Osvaldo 51 Articles
Nascido em Belém-PA (1982), fez seu High School nos EUA em Greenwood, IN (Greenwood Community High School), é casado, bacharel em Física pela Unicamp, Mestre em Física pela Unicamp, experiência no mercado financeiro (em São Paulo). Possui como hobby e outros interesses: Cosmologia, Física Teórica, Matemática, Economia, Econofísica, Filosofia, Modelagem em Risco de Crédito, Sistemas Complexos (em especial análise de clusterização).

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